$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 8x \cot x \, dx} + \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}} \right)dx}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(\alpha) = \int_{0}^{\alpha} x^{2} \left(1 - \frac{x}{\alpha}\right)^{\alpha} dx$ (જ્યાં $\alpha > 0$),તો $\sum_{\alpha=1}^{5} \frac{f(\alpha)}{\alpha^{3}}$ ની કિંમત શોધો.

જો $I = \sum_{k=1}^{98} \int_k^{k+1} \frac{k+1}{x(x+1)} dx$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

$\int_{0}^{^{n}C_{r}} \{ \sin^{2}\{x\} \} dx$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $\{.\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય દર્શાવે છે અને $n, r \in N$)

ધારો કે $F: R \rightarrow R$ એ ત્રણ વાર વિકલનીય વિધેય છે. ધારો કે $F(1)=0, F(3)=-4$ અને તમામ $x \in (1/2, 3)$ માટે $F^{\prime}(x) < 0$ છે. ધારો કે તમામ $x \in R$ માટે $f(x)=x F(x)$ છે.
$1.$ સાચું વિધાન(નો) છે:
$(A) f^{\prime}(1) < 0$
$(B) f(2) < 0$
$(C) \text{કોઈપણ }x \in (1,3) \text{માટે }f^{\prime}(x) \neq 0$
$(D)$ અમુક $x \in (1, 3)$ માટે $f^{\prime}(x)=0$
$2.$ જો $\int_1^3 x^2 F^{\prime}(x) dx = -12$ અને $\int_1^3 x^3 F^{\prime \prime}(x) dx = 40$ હોય,તો સાચું પદ(દો) છે:
$(A) 9 f^{\prime}(3)+f^{\prime}(1)-32=0$
$(B) \int_1^3 f(x) dx = 12$
$(C) 9 f^{\prime}(3)-f^{\prime}(1)+32=0$
$(D) \int_1^3 f(x) dx = -12$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ માટે જવાબ આપો.

નીચેનામાંથી કઈ અસમતાઓ $TRUE$ (સાચી) છે?
$(A)$ $\int_0^1 x \cos x \, dx \geq \frac{3}{8}$
$(B)$ $\int_0^1 x \sin x \, dx \geq \frac{3}{10}$
$(C)$ $\int_0^1 x^2 \cos x \, dx \geq \frac{1}{2}$
$(D)$ $\int_0^1 x^2 \sin x \, dx \geq \frac{2}{9}$